Question

8．设函数f（x）=mlnx+$\frac{2m}{x}$-$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$
（1）若m≤0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；
（2）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（mx-{e}^{x}）（x-2）}{{x}^{3}}$．…（2分）
当m≤0时，mx-e^x＜0，
所以当0＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；…（3分）
x＞2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
综上：f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（2，+∞）．…（4分）
（2）若m≤0时，由（1）知，函数f（x）在（0，2）内单调递增，故f（x）在（0，2）内不存在极值点；…（6分）
当m＞0时，设函数g（x）=mx-e^x（x∈（0，2））．
因为g′（x）=m-e^x，
①当0＜m≤1时，x∈（0，2），g′（x）＜0，∴g（x）＜g（0）=-1，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点．…（8分）
②当m＞1时，x∈（0，lnm）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，x∈（lnm，+∞）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，
∴函数y=g（x）的最大值为g（lnm）=m（lnm-1）．…（9分）
函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点．
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＜0}\\{g（lnm）＞0}\\{g（2）＜0}\\{0＜lnm＜2}\end{array}\right.$解得e＜m＜$\frac{{e}^{2}}{2}$．
综上所述，函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，m的取值范围为（e，$\frac{{e}^{2}}{2}$）．…（12分）

点评 本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想．是一道导数的综合应用题．属于中档题．