Question

18．一房间有大小相同的3扇窗户，其中一扇是打开的，一只鸟儿飞了进来，它要出去只能从开着的窗户飞走，鸟儿在房间里飞来飞去，试图飞出，假定这只鸟儿（笨鸟）是没有记忆的，且它飞向各扇窗户是随机的．
（1）求笨鸟第四次能飞出窗户的概率；
（2）该户主声称他养的一只鸟（聪明鸟）具有记忆功能，它飞向任何一扇窗户的尝试都不会多于一次，如户主所说是确实的，现把这只聪明鸟带入房间，求它试飞次数的分布列；
（3）求笨鸟试飞次数小于聪明鸟飞次数的概率．

Answer 1

分析 （1）每次能飞出的概率为$\frac{1}{3}$，利用相互独立事件的概率公式可求笨鸟第四次能飞出窗户的概率；
（2）用ξ表示聪明鸟试飞的次数，则ξ=1，2，3，则P（ξ=k）=$\frac{1}{3}$，可求；
（3）用η表示笨鸟试飞的次数，则P（η＜ξ）=P（η=1，ξ=2）+P（η=1，ξ=3）+P（η=2，ξ=3）可求．

解答 解：（1）笨鸟第四次能飞出窗户的概率P=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{8}{81}$．（4分）
（2）用ξ表示聪明鸟试飞的次数，则ξ=1，2，3．
则P（ξ=1）=$\frac{1}{3}$，P（ξ=2）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，P（=3）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{3}$
分布列为P（ξ=k）=$\frac{1}{3}$（ξ=1，2.3）（8分）
（3）用η表示笨鸟试飞的次数，
则P（η＜ξ）=P（η=1，ξ=2）+P（η=1，ξ=3）+P（η=2，ξ=3）
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+（\frac{2}{3}×\frac{1}{3}）×\frac{1}{3}$=$\frac{8}{27}$（12分）

点评 本题主要考查了离散型简单随机变量的分布列的求解，属于基础试题．