Question

7．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边是a、b、c，$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$且$\overrightarrow{GA}$•$\overrightarrow{GB}$=0，若（tanA+tanB）•tanC=mtanAtanB，则m的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 利用已知条件求出G是三角形的重心，通过余弦定理可得三角形三边关系，然后再由余弦定理可得转化，可得2sinAsinBcosC=4sin²C．再利用同角三角函数的基本关系化简要求的式子，可得结果．

解答 解：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边是a、b、c，$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
可得G是三角形的重心，且$\overrightarrow{GA}$•$\overrightarrow{GB}$=0，
如图：则，AD=DB=DG=$\frac{1}{2}$CG，AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos∠ADC，
BC²=BD²+CD²-2BD•CDcos（π-∠ADC），
可得AC²+BC²=AD²+CD²+BD²+CD²=20AD²．
即a²+b²=5c²，可得sin²A+sin²B=5sin²C．
由余弦定理可得 cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{4{sin}^{2}C}{2sinAsinB}$，
可得2sinAsinBcosC=4sin²C．
则$\frac{tanA•tanB}{tanC（tanA+tanB）}$=$\frac{sinAsinBcosC}{{sin}^{2}C}$=2；
（tanA+tanB）•tanC=$\frac{1}{2}$tanAtanB，
∴m=$\frac{1}{2}$
故选A．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，属于难度比较大的题目．