Question

12．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2$\sqrt{2}$（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB，$\frac{c}{sinC}$=2$\sqrt{2}$
（1）求角C；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意和正弦定理求出sinA、sinB、sinC，代入已知的式子化简，再由余弦定理求出cosC的值，即可求出角C的值；
（2）由（1）和条件求出c，利用余弦定理列出方程，化简后利用基本不等式求出ab的最大值，代入△ABC面积的公式求出最大值．

解答 解：（1）由题意和正弦定理得，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2\sqrt{2}$，
则sinA=$\frac{a}{2\sqrt{2}}$，sinB=$\frac{b}{2\sqrt{2}}$，sinC=$\frac{c}{2\sqrt{2}}$，
代入2$\sqrt{2}$（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB得，
a²-c²=ab-b²，即a²+b²-c²=ab，
由余弦定理得，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
又0＜C＜π，则C=$\frac{π}{3}$；
（2）由（1）可得，$\frac{c}{sin\frac{π}{3}}=2\sqrt{2}$，则c=$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{6}$，
代入a²+b²-c²=ab可得，a²+b²-6=ab，
即ab+6=a²+b²≥2ab，解得ab≤6，当且仅当a=b时取等号，
所以△ABC面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{4}×6$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
即△ABC面积的最大值是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式求最值问题，属于中档题．