Question

1．如图，一个底面半径为$\sqrt{3}$的圆柱被与其底面所成角为30°的平面所截，其截面是一个椭圆Γ，以该椭圆Γ的中心为原点，长轴所在的直线
为x轴，建立平面直角坐标系．点F是椭圆的右焦点．点M（m，0）、N（0，n）分别是x轴、y轴上的动点，且满足$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{NF}$=0，若点P满足$\overrightarrow{OM}$=
2$\overrightarrow{ON}$+$\overrightarrow{PO}$．
（1）求该椭圆Γ的长轴长及点P的轨迹C的方程；
（2）设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A、B两点，直线OA、OB与直线x=-1分别交于点S、T（O为坐标原点），试判断$\overrightarrow{FS}$•$\overrightarrow{FT}$是否为定值？若是．求出这个定值：若不是．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过圆柱的底面半径可知椭圆Γ的短半轴，利用cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$可得长半轴，进而由$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{NF}$=0可得结论；
（2）通过设直线AB的方程，分别联立l_OA、l_OB与直线x=-1可得S、T点坐标，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算即得结论．

解答 解：（1）∵圆柱的底面半径为$\sqrt{3}$，∴椭圆Γ的短半轴b=$\sqrt{3}$，
又∵椭圆Γ所在平面与圆柱底面所成角为30°，
∴cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即a=2，
∴椭圆Γ的长轴长2a=4，
椭圆Γ的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
椭圆Γ的右焦点F（1，0），∴$\overrightarrow{NF}$=（1，-n），$\overrightarrow{MN}$=（-m，n），
∵$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{NF}$=0，∴m+n²=0，
设点P（x，y），由$\overrightarrow{OM}$=2$\overrightarrow{ON}$+$\overrightarrow{PO}$可知：
（m，0）=2（0，n）+（-x，-y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-x}\\{n=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，代入m+n²=0，可得：y²=4x，
∴点P的轨迹C的方程为：y²=4x；
（2）结论：$\overrightarrow{FS}$•$\overrightarrow{FT}$为定值0．
理由如下：
设直线AB的方程为：x=ty+1，A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
则：l_OA：y=$\frac{4}{{y}_{1}}$x，l_OB：y=$\frac{4}{{y}_{2}}$x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{{y}_{1}}x}\\{x=-1}\end{array}\right.$，∴S（-1，-$\frac{4}{{y}_{1}}$），同理得T（-1，-$\frac{4}{{y}_{2}}$），
∴$\overrightarrow{FS}$=（-2，-$\frac{4}{{y}_{1}}$），$\overrightarrow{FT}$=（-2，-$\frac{4}{{y}_{2}}$），
∴$\overrightarrow{FS}$•$\overrightarrow{FT}$=4+$\frac{16}{{y}_{1}{y}_{2}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$可知：y²-4ty-4=0，
由韦达定理可知：y₁y₂=-4，
∴$\overrightarrow{FS}$•$\overrightarrow{FT}$=4+$\frac{16}{-4}$=0，
∴$\overrightarrow{FS}$•$\overrightarrow{FT}$的值是定值，且定值为0．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，注意解题方法的积累，属于中档题．