Question

3．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=2，AD=CD=1，点E、F分别为AB、BC的中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（1）求证：BC⊥平面ACD；
（2）求几何体D-ABC的体积；
（3）在线段BD上是否存在一点G，使得平面GEF∥平面ACD，若存在，试确定点G的位置并予以证明，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意知，AC=BC=$\sqrt{2}$，由勾股定理可得AC⊥BC，取AC中点O，连接DO，由面面垂直的性质得OD⊥平面ABC，再由线面垂直的判断得答案；
（2）（1）知，BC为三棱锥B-ACD的高，求出三棱锥B-ACD的体积，由等积法可得D-ABC的体积；
（3）取G为线段BD的中点，连接EF、EG、FG，由三角形的中位线定理结合面面平行的判定得答案．

解答 （1）证明：在图1中，由题意知，AC=BC=$\sqrt{2}$，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，
且平面ADC∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，从而OD⊥平面ABC，
∴OD⊥BC，
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD；
（2）解：由（Ⅰ）知，BC为三棱锥B-ACD的高，且BC=$\sqrt{2}$，S_△ACD=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
∴三棱锥B-ACD的体积为：V_B-ACD=$\frac{1}{3}$Sh=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
由等积性知几何体D-ABC的体积为：$\frac{\sqrt{2}}{6}$；
（3）解：若G为线段BD的中点，则平面GEF∥平面ACD．
证明：取G为线段BD的中点，连接EF、EG、FG，
∵点E、F、G分别为AB、BC、BD的中点，∴EF∥AC，EG∥AD，
AC?面ACD，AD?面ACD，EF?面ACD，EG?面ACD，
∴EF∥面ACD，EG∥面ACD，又EF∩EG=E，
∴平面GEF∥平面ACD．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．