Question

18．已知F₁（-c，0），F₂（c，0）为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2c²，则此椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]
• B． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• C． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），则2c²=$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$，化为${y}_{0}^{2}=3{c}^{2}-{x}_{0}^{2}$．又$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，可得${x}_{0}^{2}$=$3{a}^{2}-\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}$，利用$0≤{x}_{0}^{2}≤{a}^{2}$，利用离心率计算公式即可得出．

解答 解：设P（x₀，y₀），则2c²=$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-c-x₀，-y₀）•（c-x₀，-y₀）=${x}_{0}^{2}-{c}^{2}$+${y}_{0}^{2}$，化为${y}_{0}^{2}=3{c}^{2}-{x}_{0}^{2}$．
又$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，∴${x}_{0}^{2}$=$3{a}^{2}-\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}$，
∵$0≤{x}_{0}^{2}≤{a}^{2}$，
∴$0≤3-\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}≤1$，
∵b²=a²-c²，∴$3≤\frac{1}{{e}^{2}}≤4$，
∴$\frac{1}{2}≤e≤\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量数量积运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．