抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质.如若抛物线的弦过焦点.则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2=4px.弦AB过焦点.△ABQ为其阿基米德三角形.则△ABQ的面积的最小值为p2．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y²=4px（p＞0），弦AB过焦点，△ABQ为其阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为p²．

分析由于若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上，且△PAB为直角三角型，且角P为直角．又面积是直角边积的一半，斜边是两直角边的平方和，故可求

解答解：由于若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上，且△PAB为直角三角型，且角P为直角，S=$\frac{1}{2}$PA•PB≤$\frac{A{B}^{2}}{4}$，
由于于AB是通径时，即AB=2p最小，
故S≤p²，
故答案为：p²．

点评本题考查了圆锥曲线的定义和性质，△PAB称作阿基米德三角型．该三角形满足以下特性：1、P点必在抛物线的准线上；2、△PAB为直角三角型，且角P为直角；3、PF⊥AB（即符合射影定理）等．灵活利用性质是解题的关键，属于中档题．

练习册系列答案

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A．

$\sqrt{5}$

B．

$\sqrt{10}$

C．

2$\sqrt{2}$

D．

$\sqrt{2}$

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A．

[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]

B．

（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

C．

[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）

D．

[$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]

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A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{1}{3}$

C．

D．