Question

1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若点M在线段AP的延长线上且P为MA的中点，PA=1，AD=2，求二面角
    B-ED-M的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；
（2）先找出ABCD为正方形，得到AB=AD=2，以A点为原点，AB、AD、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BED、平面MDE的法向量，从而求出二面角的余弦值．

解答 （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵PC⊥平面BDE，
∴PC⊥BD，又PA∩PC=P，
∴BD⊥平面PAC，
（2）解：由（1）可知BD⊥平面PAC，而AC?平面PAC，
∴BD⊥AC，而ABCD为矩形，
∴ABCD为正方形，∴AB=AD=2，
以A点为原点，AB、AD、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-BDP，
如图示：

则M（0，0，2）、D（0，2，0）、C（2，2，0），
平面BED的一个法向量为${\overrightarrow{n}}_{2}$=$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-1），$\overrightarrow{MD}$=（0，2，-2），
设$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{DC}$+λ$\overrightarrow{CP}$=（2-2λ，-2λ，λ），$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{PC}$=0，
λ=$\frac{4}{9}$，$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{10}{9}$，-$\frac{8}{9}$，$\frac{4}{9}$），
设平面MDE的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$={x，y，z}，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{MD}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{10}{9}x-\frac{8}{9}y+\frac{4}{9}z=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$，
令z=5，∴$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（2，5，5），
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{9}{3×3\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴二面角 B-ED-M的余弦值为：-$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，作出坐标系通过法向量求二面角的平面角是常用的方法．