Question

9．曲线C_1：$\frac{|x|}{4}$-$\frac{|y|}{2}$=1与曲线C₂：$\frac{|x|}{8}$+$\frac{|y|}{2}$=1所围成图形的面积为$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，在同一坐标系中画出C₁、C₂所围成的图形，根据图形的对称性求出它的面积即可．

解答 解：对于曲线C_1：$\frac{|x|}{4}$-$\frac{|y|}{2}$=1，
当x＞0，y＞0时，$\frac{x}{4}$-$\frac{y}{2}$=1，
当x＞0，y＜0时，$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=1，
当x＜0，y＜0时，$\frac{x}{4}$-$\frac{y}{2}$=-1，
当x＜0，y＞0时，$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=-1；
对于曲线C₂：$\frac{|x|}{8}$+$\frac{|y|}{2}$=1，
当x＞0，y＞0时，$\frac{x}{8}$+$\frac{y}{2}$=1，
当x＞0，y＜0时，$\frac{x}{8}$-$\frac{y}{2}$=1，
当x＜0，y＜0时，$\frac{x}{8}$+$\frac{y}{2}$=-1，
当x＜0，y＞0时，$\frac{x}{8}$-$\frac{y}{2}$=-1；
在同一坐标系中画出这8条线段，它们所围成的图形是四边形ABCD和四边形EFGH，
如图所示；

由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{4}-\frac{y}{2}=1}\\{\frac{x}{8}+\frac{y}{2}=1}\end{array}\right.$，得点A（$\frac{16}{3}$，$\frac{2}{3}$）；
∴△ABC的面积为：S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•y_A=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$；
∴四边形ABCD的面积为：S_{四边形ABCD}=2S_△ABD=2S_△ABD=2×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$；
由C₁、C₂所围成的图形的面积为：
S=S_{四边形ABCD}+S_{四边形EFGH}=2×$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$．
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了直线方程的应用问题，也考查了分类讨论的应用问题，考查了数形结合的应用问题，是综合性题目．