Question

4．已知m=${∫}_{0}^{π}$（sint+cost）dt，则${（x-\frac{1}{mx}）^{3m}}$的展开式的常数项为-$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，由定积分公式可得m=2，由二项式定理可得其展开式的通项，令x的指数为0，可得r的值，将r的值代入通项，计算可得其展开式中常数项，即可得答案

解答 解：m=${∫}_{0}^{π}$（sint+cost）dt=（-cost+sint）|${\;}_{0}^{π}$=-cosπ+sinπ-（-cos0+sin0）=1+1=2，
则${（x-\frac{1}{mx}）^{3m}}$=（x-$\frac{1}{2x}$）⁶，
其展开式的通项为T_r+1=C₆^rx^6-r•（-$\frac{1}{2x}$）^r=C₆^r（-$\frac{1}{2}$）^rx^6-2r，
令6-2r=0，可得r=3，
此时T₄=C₆³（-$\frac{1}{2}$）³=-$\frac{5}{2}$，
故答案为：-$\frac{5}{2}$

点评 本题考查二项式定理的运用，关键是由定积分公式求出a的值，属于中档题．