Question

15．设函数f（x）=（$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$）ⁿ，其中n=3${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx，则f（x）的展开式中x²的系数为15．

Answer 1

分析 先由定积分的运算可得n的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中x²的系数．

解答 解：∵n=3${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=3sinx|${\;}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=3（sin$\frac{π}{2}$-sin（-$\frac{π}{2}$））=6，
（$\frac{1}{2}$x-$\sqrt{2}$）⁶的展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（$\frac{1}{2}$x）^6-r•（-$\sqrt{2}$）^r，
令6-r=2，解得 r=4，
∴展开式中x²的系数为：${C}_{6}^{4}$•$（\frac{1}{2}）^{2}•（-\sqrt{2}）^{4}$=15．
故答案为：15．

点评 本题主要考查定积分的运算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．