Question

17．已知等差数列{a_n}中，a₁+a₂=6，a₆-a₄=4，函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象过点A（3，$\frac{1}{8}$），B（a_n，b_n）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，从而求d与a₁；从而写出通项公式即可；
（2）由题意得$\frac{1}{8}$=a³，从而得到a=$\frac{1}{2}$；从而求出b_n=$（\frac{1}{2}）^{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{2n}$=$\frac{1}{{4}^{n}}$；再由等比数列前n项和公式求和即可．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{4}}{6-4}$=$\frac{4}{2}$=2，
故a₁+a₂=2a₁+2=6；
故a₁=2；
故a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）由题意得，$\frac{1}{8}$=a³，
故a=$\frac{1}{2}$；
则b_n=$（\frac{1}{2}）^{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{2n}$=$\frac{1}{{4}^{n}}$；
则S_n=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的应用及函数的应用，属于基础题．