Question

7．在△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c．2c²-2a²=b²．
（Ⅰ）证明：2ccosA-2acosC=b；
（Ⅱ）若tanA=$\frac{1}{3}$，求角C的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理把等号左边进行整理，把cosA和cosC代入．
（Ⅱ）利用正弦定理把（Ⅰ）结论中边转化成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理，可求得sinCcosA=3sinAcosC，进而求得tanC和tanA的关系，求得tanC，则C可得．

解答 （Ⅰ）证明：因为2c²-2a²=b²，
所以2ccosA-2acosC=2c•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$-2a•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$
=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{b}$-$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{b}$=$\frac{2{c}^{2}-{2a}^{2}}{b}$=b．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）和正弦定理以及sinB=sin（A+C）得
2sinCcosA-2sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC，
即sinCcosA=3sinAcosC，
又cosAcosC≠0，所以tanC=3tanA=1，故C=45°．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题的关键是对正弦定理和余弦定理能熟练灵活的运用．