Question

13．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是减函数，若$f（{ln\frac{n}{m}}）-f（1）＞0$，则$\frac{{{m^2}+{n^2}}}{mn}$的取值范围是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． [2，e）
• C． $（{e+\frac{1}{e}，+∞}）$
• D． $[{2，e+\frac{1}{e}}）$

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，结合基本不等式的性质进行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是减函数，
∴若$f（{ln\frac{n}{m}}）-f（1）＞0$，
则f（ln$\frac{n}{m}$）＞f（1），
即f（|ln$\frac{n}{m}$|）＞f（1），
即|ln$\frac{n}{m}$|＜1，
即-1＜ln$\frac{n}{m}$＜1，
即$\frac{1}{e}$＜$\frac{n}{m}$＜e，
则$\frac{{{m^2}+{n^2}}}{mn}$=$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$，
设t=$\frac{n}{m}$，则$\frac{1}{e}$＜t＜e，
则$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=t+$\frac{1}{t}$，
则函数g（t）=t+$\frac{1}{t}$，在（$\frac{1}{e}$，1]上递减，在[1，e）上递增，
则函数的最小值为g（1）=1+$\frac{1}{1}$=2，
g（e）=e+$\frac{1}{e}$，g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$+e，
故2≤g（t）＜$\frac{1}{e}$+e，
即$\frac{{{m^2}+{n^2}}}{mn}$的取值范围是[2，$\frac{1}{e}$+e），
故选：D．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及基本不等式的应用，综合考查函数的性质．