Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，PA⊥AD，CD⊥AD，PA=AD=CD=2AB，E，F分别为PC，CD的中点，DE=EC．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面BEF；
（Ⅱ）求锐二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题目给出的条件，可得四边形ABFD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；
（Ⅱ）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，求出平面法向量，利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）如图，
∵AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F为CD的中点，
∴ABFD为矩形，AB⊥BF．
∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF
∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AB?面ABE，
∴平面ABE⊥平面BEF．
（2）解：∵DE=EC，∴DC⊥EF，
又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD
又AB⊥PD，∴AB⊥面PAD，AB⊥PA．
以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间坐标系，
则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1）
平面BCD的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，0，1），
设平面EBD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{BD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（2，1，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，考查了利用空间向量求二面角的大小，解答的关键是建立正确的空间坐标系，该题训练了学生的计算能力，是中档题．