Question

18．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F₁、F₂，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，若|PF₁|=10，设椭圆与双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则e₁+e₂的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{5}{4}$，+∞）
• B． （$\frac{4}{3}$，+∞）
• C． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （$\frac{5}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a₁=5+c，a₂=5-c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．

解答 解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），
由于△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=10，
即有m=10，n=2c，
由椭圆的定义可得m+n=2a₁，
由双曲线的定义可得m-n=2a₂，
即有a₁=5+c，a₂=5-c，（c＜5），
再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，
可得c＞$\frac{5}{2}$，即有$\frac{5}{2}$＜c＜5．
由离心率公式可得e₁+e₂=$\frac{c}{{a}_{1}}$+$\frac{c}{{a}_{2}}$=$\frac{c}{5+c}$+$\frac{c}{5-c}$=$\frac{10c}{25-{c}^{2}}$=$\frac{10}{\frac{25}{c}-c}$，
∵f（x）=$\frac{25}{x}-x$在（$\frac{5}{2}$，5）上是减函数，
∴0=$\frac{25}{5}-5$＜$\frac{25}{c}-c$＜$\frac{25}{\frac{5}{2}}-\frac{5}{2}$=$\frac{15}{2}$，
∴$\frac{4}{3}$=$\frac{10}{\frac{15}{2}}$＜$\frac{10}{\frac{25}{c}-c}$＜+∞，
故选：B．

点评 本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．