Question

6．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，PA⊥底面ABCD，过BC的平面交PD于M，交PA与N（M与D不重合）．
（Ⅰ）求证：MN∥BC；
（Ⅱ）求证：CD⊥PC；
（Ⅲ）如果BM⊥AC，求此时$\frac{PM}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的性质定理即可证明MN∥BC；
（Ⅱ）根据线面垂直的性质定理证明求证：CD⊥PC；
（Ⅲ）根据线面垂直的判定定理证明AC⊥面BEM，即可证明M是PD的中点即可得到结论．

解答 证明：（Ⅰ）∵BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
∵平面PAD∩平面BCMN=MN，
∴BC∥MN，即MN∥BC；
（Ⅱ）取AD中点E，连接CE，BE，
∵AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴四边形ABCE为正方形，
∵E是AD的中点，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC⊥CD，即CD⊥AC，
∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵PA∩AC=A，
∴CD⊥面PAC，
∵PC?面PAC，
∴CD⊥PC．
（Ⅲ）连接BE，则BE∥CD，
∵AC⊥CD，∴AC⊥BE，
若BM⊥AC，
∵BM∩BE=B，
∴AC⊥面BEM，
∵ME?面BEM，
∴AC⊥EM，
∵E是AD的中点，
∴M是PD的中点，
即$\frac{PM}{PD}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查线面垂直和线面平行的判定和性质，综合考查空间直线和平面的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理，考查学生的运算和推理能力．