Question

15．今年柴静的《穹顶之下》发布后，各地口罩市场受其影响生意火爆．A市虽然雾霾现象不太严重，但经抽样有25%的市民表示会购买口罩．现将频率视为概率，解决下列问题：
（1）从该市市民中随机抽取3位，求至少有一位市民会购买口罩的概率；
（2）从该市市民中随机抽取4位，X表示愿意购买口罩的市民人数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）设“某市民还会购买口罩”为事件A，则P（A）=0.25．设X表示“该市市民中随机抽取3位中还会购买口罩的人数”．由P（X≥1）=1-P（X=0）即可得出．
（2）由题意可知：X=0，1，2，3，4．求出相应的概率，可得X的分布列及数学期望．

解答 解：（1）设“某市民还会购买口罩”为事件A，则P（A）=0.25．
设X表示“该市市民中随机抽取3位中会购买口罩的人数”．
P（X≥1）=1-P（X=0）=1-（1-0.25）³=$\frac{37}{64}$．
（2）由题意可知：X=0，1，2，3，4．
P（X=0）=（1-0.25）⁴=$\frac{81}{256}$，P（X=1）=${C}_{4}^{1}$×0.25×（1-0.25）³=$\frac{27}{64}$
P（X=2）=${C}_{4}^{2}$×0.25²×（1-0.25）²=$\frac{54}{256}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}$×0.25³×（1-0.25）=$\frac{12}{256}$，
P（X=4）=0.25⁴=$\frac{1}{256}$．
X的分布列

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{81}{256}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{54}{256}$	$\frac{12}{256}$

故E（X）=0×$\frac{81}{256}$+1×$\frac{27}{64}$+2×$\frac{54}{256}$+3×$\frac{12}{256}$+4×$\frac{1}{256}$=1．

点评 本题考查了独立事件和互斥事件的概率计算公式、分类讨论的思想方法等基础知识与基本方法，考查分布列及数学期望，属于难题．