Question

5．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为线段DD₁的中点
（1）求证：AC⊥平面BDD₁
（2）求EA与平面BDD₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，可证DD₁⊥AC，又AC⊥BD，即可证明AC⊥平面BDD₁．
（2）设AC∩BD=O，连接EO，由AC⊥平面DD₁B，可得∠AEO为EA与平面BDD₁所成角．不妨设正方形的边长为2，AO=$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{5}$，即可由sin∠AEO=$\frac{AO}{AE}$求值．

解答 本题满分为12分
解：（1）证明：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，
∴DD₁⊥AC
又∵在正方向ABCD中，AC⊥BD
∴AC⊥平面BDD₁…6分
（2）设AC∩BD=O，连接EO，
∵AC⊥平面DD₁B，
∴∠AEO为EA与平面BDD₁所成角．
不妨设正方形的边长为2，AO=$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{5}$，
可得：sin∠AEO=$\frac{AO}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$…12分．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力和推论论证能力，属于中档题．