Question

20．在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且EB=AB=2，CD=1，
（1）求二面角D-AB-C的正切值
（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由条件证明AB⊥平面BEDC，可得∠DBC为二面角D-AB-C的平面角．解直角三角形BCD，求得tan∠DBC=$\frac{CD}{BC}$ 的值．
（2）取BE得中点N，则DN⊥BE．由平面和平面垂直的性质可得DN⊥平面ABE，∠DAN即为AD与平面ABE所成角．再根据sin∠DAN=$\frac{DN}{DA}$，求得结果．

解答 解：（1）等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC．
又BE和CD都垂直于平面ABC，∴AB⊥BE，∴AB⊥平面BEDC，∴∠DBC为二面角D-AB-C的平面角．
直角三角形BCD中，由EB=AB=2，CD=1，可得tan∠DBC=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{2}$．
（2）由于DB=DE=$\sqrt{5}$，故△DBE为等腰三角形，取BE得中点N，则DN⊥BE．
由（1）AB⊥平面BEDC，可得平面ABE⊥平面BEDC，且平面ABE和平面BEDC 的交线为BE，
故DN⊥平面ABE，∠DAN即为AD与平面ABE所成角．
sin∠DAN=$\frac{DN}{DA}$=$\frac{2}{\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^{2}+1}}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查直线和平面成的角的定义和求法，平面和平面垂直的性质，二面角的平面角的定义和求法，体现了转化的数学思想，属于中档题．