Question

19．已知f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$+3x-4．
（1）当a=-2时，求f（x）的单调区间；
（2）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求证：$\frac{2}{4×{1}^{2}-1}$+$\frac{4}{4×{2}^{2}-1}$+$\frac{4}{4×{3}^{2}-1}$+…+$\frac{n+1}{4×{n}^{2}-1}$＞$\frac{1}{4}$ln（2n+1）对一切正整数n均成立．

Answer 1

分析 （1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围；
（2）由（1）知，x＞0时，不等恒成立，则x＞0时，恒成立．令k=1，2，3，…，n，叠加，即可证明结论．

解答 解：（1）当a=-2，f（x）=-2lnx+$\frac{1}{x}+3x-4$
$f'（x）=-\frac{2}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}+3$=$\frac{3{x}^{2}-2x-1}{{x}^{2}}$
f'（x）=0，解得x=$-\frac{1}{3}$或x=1
因为x＞0，所以x=1．f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（2）f'（x）=$\frac{a}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}+3=\frac{3{x}^{2}+ax-1}{{x}^{2}}$
△=a²+12＞0，则方程3x²+ax-1=0有两个异号的实根，设这两个实根为x₁，x₂，且x₁＜0＜x₂．
∴0＜x＜x₂时，f'（x）＜0．f（x）在区间[0，x₂]上为减函数，f（x₂）＜f（0）=0．
∴a＜-2不符合要求．
∴a的取值范围为[-2，+∞）．
（3）证明：由（1）知，x＞0时，不等式-2lnx+$\frac{1}{x}+3x-4＞0$恒成立，
∴x＞0时，$\frac{1}{x}+3x-4＞2lnx$恒成立，
令$x=\frac{2k+1}{2k-1}$，得$\frac{2k-1}{2k+1}+\frac{6k+3}{2k-1}-4＞2ln（\frac{2k+1}{2k-1}）$
整理得：$\frac{8k+8}{4{k}^{2}-1}$$＞2ln\frac{2k+1}{2k-1}$
∴$\frac{k+1}{4{k}^{2}-1}＞\frac{1}{4}ln\frac{2k+1}{2k-1}$令k=1，2，3…，n，得$\frac{2}{4×{1}^{2}-1}＞\frac{1}{4}ln\frac{3}{1}，\frac{3}{4×{2}^{2}-1}＞\frac{1}{4}ln\frac{5}{3}$
…，$\frac{n+1}{4×{n}^{2}-1}＞\frac{1}{4}ln\frac{2n+1}{2n-1}$
将上述n个不等式的左右两边分别相加得，
$\frac{2}{4×{1}^{2}-1}+\frac{3}{4×{2}^{2}-1}+…+\frac{n+1}{4×{n}^{2}-1}$$＞\frac{1}{4}ln（\frac{3}{1}×\frac{5}{3}×…×\frac{2n+1}{2n-1}）=\frac{1}{4}ln（2n+1）$
∴$\frac{2}{4×{1}^{2}-1}+\frac{3}{4×{2}^{2}-1}+…+\frac{n+1}{4×{n}^{2}1}$$＞\frac{1}{4}ln（2n+1）$对一切正整数n均成立．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，巧妙利用两小题之间的关系，是解题的关键．