Question

11．在等比数列{a_n}中，已知a₁=2，且a₂，a₁+a₃，a₄成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设数列{a_n²-a_n}的前n项和为S_n，记b_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$，求证：数列{b_n}的前n项和T_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a₂，a₁+a₃，a₄成等差数列及a₁=2，计算即得结论；
（Ⅱ）通过S_n=（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²）-（a₁+a₂+a₃²+…+a_n）可得b_n的表达式，分离分母、并项相加即得结论．

解答 （Ⅰ）解：设等比数列的公比为q，由已知得：2（a₁+a₃）=a₂+a₄，
即2（a₁+a₁q²）=a₁q+a₁q³，解得q=2，
又∵a₁=2，∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：S_n=（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²）-（a₁+a₂+a₃²+…+a_n）
=（4+4²+4³+…+4ⁿ）-（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=$\frac{2}{3}$（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹-1），
∴b_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），
∴T_n=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{{2}^{1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{{2}^{1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查求数列的通项和前n项和的取值范围，注意解题方法的积累，属于中档题．