Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知A为椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1上的动点，MN为圆（x-1）²+y²=1的一条直径，则|$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$|的最大值为15．

Answer 1

分析 由题意画出图形，得到椭圆上离圆心最远的点A，在设出圆的直径两端点的坐标，由平面向量数量积运算求得答案．

解答 解：如图，

圆（x-1）²+y²=1在椭圆内，椭圆上的所有点只有左顶点到圆心（1，0）距离最远，
由题意可设圆的直径的两个端点为M（1+cosθ，sinθ），N（1-cosθ，-sinθ），
又A（-3，0），
∴$\overrightarrow{AM}=（4+cosθ，sinθ），\overrightarrow{AN}=（4-cosθ，-sinθ）$，
则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=16-cos²θ-sin²θ=15．
∴|$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$|的最大值为15．
故答案为：15．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．