Question

17．斜三棱柱底面边长是4cm的正三角形，．侧棱长3cm，侧棱∠AA′C′=∠AA′B′=60°．
（1）求证：C′B′⊥AA′；
（2）求三棱柱的侧面积；
（3）求三棱柱的体积．
（提示：过点A作底面A′B′C′的垂线，垂足为P．则点P在∠C′A′B′的角平分线上）

Answer 1

分析 （1）过A作AO垂直平面A′B′C′，垂足为O，过O作OH⊥A′B′于H，作OG⊥A′C′于G，然后利用三垂线定理可得AH⊥A′B′，AG⊥A′C′，再利用三角形全等证得A在底面的射影在∠C′A′B′的角平分线上，然后利用线面垂直的判定证明B′C′⊥面AA′O，从而可得C′B′⊥AA′；
（2）直接求出三个侧面面积的和得答案；
（3）由（1）求出三棱柱的高，代入棱柱体积公式得答案．

解答 （1）证明：如图，

过A作AO垂直平面A′B′C′，垂足为O，过O作OH⊥A′B′于H，作OG⊥A′C′于G，
连接AH，AG，则AH⊥A′B′，AG⊥A′C′，
在Rt△AHA′和Rt△AGA′中，∵∠AA′C′=∠AA′B′=60°，AA′=3，∴$AH=AG=\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
再在Rt△AOH和Rt△AOG中，由HL可得Rt△AOH≌Rt△AOG，∴OH=OG，即A在底面的射影在∠C′A′B′的角平分线上．
由AO⊥面A′B′C′，得AO⊥B′C′，
又△A′B′C′为正三角形，∴A′E⊥B′C′，
又AO∩A′E=O，∴B′C′⊥面AA′O，
∴C′B′⊥AA′；
（2）解：三棱柱的侧面积为侧面AA′B′B、侧面AA′C′C、侧面BB′C′C的面积和．
等于$4×\frac{3\sqrt{3}}{2}+4×\frac{3\sqrt{3}}{2}+4×3=12+12\sqrt{3}$；
（3）解：由（1）可求得$A′H=\frac{3}{2}$，∴$A′O=\sqrt{3}$，则$AO=\sqrt{{3}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{6}$．
∴$V=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}×\sqrt{6}=12\sqrt{2}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．