Question

9．已知定义在R上的函数φ（x）与g（x）满足：φ（x）+g（x）=e^x-x²-2x-2，φ（x）-g（x）=e^x+x²+2x-4；（注：e为自然对数的底数，e≈2.78）；
（1）求φ（x），g（x）的解析式；
（2）对?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[0，1]，都有g（x₁）+ax₁+5≥φ（x₂）-x₂φ（x₂）成立，求实数a的范围；
（3）设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{φ（x），（x＞0）}\\{g（x），（x≤0）}\end{array}\right.$，判断方程f[f（x）]=2的解的个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用方程组法基本进行求解即可．
（2）将不等式恒成立转化为求h（x）_min≥F（x）_max，利用导数分别求出h（x）和F（x）的最小值和最大值，即可．
（3）利用数形结合，对参数进行讨论求出方程的根的个数

解答 解：（1）∵φ（x）+g（x）=e^x-x²-2x-2，φ（x）-g（x）=e^x+x²+2x-4；
∴解得φ（x）=e^x-3，g（x）=-x²-2x+1；
（2）设h（x）=g（x）+ax+5=-x²+（a-2）x+6，
F（x）=φ（x）-xφ（x）=（1-x）（e^x-3）=（1-x）e^x+3x-3，
对?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[0，1]，都有h（x）_min≥F（x）_max成立，
∵F′（x）=-xe^x+3在[0，1]上为减函数，
∴F′（x）_min≥F′（1）=3-e＞0，
∴F（x）在[0，1]上单调递增，
∴F（x）_max=F（1）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）=7-a≥0}\\{h（1）=a+3≥0}\end{array}\right.$，解得-3≤a≤7，
∴实数a的取值范围为[-3，7]．
（3）当f（x）＞0时，有e^f（x）-3=2，则f（x）=ln5，
当f（x）≤0时，有f[f（x）]=-f（x）²-2f（x）+1=2，
则f（x）=-1，
即若f[f（x）]=2，则有f（x）=-1或f（x）=ln5，
而f（x）的图象如图所示：
y=f（x）与y=-1有2个交点，与y=ln5有1个交点，
则f[f（x）]=2共有3个解．

点评 本题主要考查函数解析式的方法，利用最值解决恒成立问题；利用数结合法解决方程根的个数问题．这是一道综合性很强的导数试题．难度较大．