Question

18．现有4个学生去参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种回答问题，每个学生被要求用英语回答问题的概率均为$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求这4个学生中恰有2人用英语回答问题的概率；
（Ⅱ）若m，n分别表示用汉语，英语回答问题的人数，记X=|m-n|，求随机变量X的概率分布和数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“4个学生中恰有2人用英语回答问题”为事件A，利用独立重复试验求解了即可．
（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，2，4．求出概率，得到分布列，然后去期望．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设“4个学生中恰有2人用英语回答问题”为事件A，
则P（A）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（1-\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{8}{27}$．  …（4分）
（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，2，4．  …（5分）
P（X=0）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（1-\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{8}{27}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{1}{（\frac{1}{3}）}^{1}{（1-\frac{1}{3}）}^{3}+{C}_{4}^{3}{（\frac{1}{3}）}^{3}{（1-\frac{1}{3}）}^{1}$=$\frac{40}{81}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{0}{（\frac{1}{3}）}^{0}{（1-\frac{1}{3}）}^{4}+{C}_{4}^{4}{（\frac{1}{3}）}^{4}{（1-\frac{1}{3}）}^{0}$=$\frac{17}{81}$

∴随机变量X的分布列为：

X	0	2	4
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{17}{81}$

…（11分）
∴$E（X）=0×\frac{8}{27}+2×\frac{40}{81}+4×\frac{17}{81}$=$\frac{148}{81}$．     …（13分）

点评 本题考查独立重复试验的概率的求法，分布列以及去的求法，考查分析问题解决问题的能力．