Question

20．已知函数f（x）=ln（1+ax）-ax，（其中a为实数，且a≠0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）关于x方程f（x）-a=0在[-1，1]上是否有两个不等实根？若有，求实数a的取值范围；若没有，请说明理由；
（3）若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=（1+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$）a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，证明：对于任意的正整数n，都有a_n＜e²，其中无理数e=2.71828．

Answer 1

分析 （1）求出导数，讨论a＞0，a＜0，结合函数的定义域，解不等式即可得到单调区间；
（2）由（1）可得单调区间，即有最大值为0，讨论a＞0，a＜0，结合函数的单调性，即可得到结论；
（3）由递推公式及a_n≥2（n≥2）有a_n+1=（1+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$）a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$≤（1+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$）a_n（n≥1），再结合对数函数的单调性，得到lna_n+1-lna_n≤$\frac{1}{n（n+1）}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$（n≥1）．最后对此式从1到n-1求和后放缩可得结论．

解答 解：（1）f（x）=ln（1+ax）-ax的导数为f′（x）=$\frac{a}{1+ax}$-a=$\frac{-{a}^{2}x}{1+ax}$，
当a＞0时，x＞0时，1+ax＞0成立，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜0时，由1+ax＞0可得-$\frac{1}{a}$＜x＜0，
f′（x）＞0，f（x）递增．
当a＜0时，x＞0时，由1+ax＞0可得0＜x＜-$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜0时，由1+ax＞0成立，
f′（x）＞0，f（x）递增．
综上可得，a＞0时，f（x）的减区间为（0，+∞），增区间为（-$\frac{1}{a}$，0）；
a＜0时，f（x）的减区间为（0，-$\frac{1}{a}$），增区间为（-∞，0）；
（2）当a＞0时，由（1）可得，f（x）的减区间为（0，+∞），增区间为（-$\frac{1}{a}$，0）；
即有f（x）在x=0处取得最大值，且为0，即f（x）≤0，
则a＞0时，方程f（x）-a=0即f（x）=a在[-1，1]上无解；
当a＜0时，f（x）的减区间为（0，-$\frac{1}{a}$），增区间为（-∞，0），
即有f（x）在[-1，0]递增，（0，1]递减，
要使f（x）-a=0在[-1，1]上有两个不等实根，由于f（x）在[0，1]上有一解，
只需f（x）在[-1，0]上有一解，即为ln（1-a）+a≤a＜0，
即有ln（1-a）≤0，而a＜0，则ln（1-a）＞0，不成立，
故方程f（x）-a=0在[-1，1]上没有两个不等实根；
（3）证明：首先证明a_n≥2（n≥2）．
①当n=2时，a₂=2≥2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即a_k≥2（k≥2），
那么a_k+1=（1+$\frac{1}{k（k+1）}$）a_k+$\frac{1}{{2}^{k}}$≥2．这就是说，当n=k+1时不等式成立．
根据（1）、（2）可知：a_k≥2对所有k≥2成立．
即有a_n≥2（n≥2）．
由递推公式及a_n≥2（n≥2）．有a_n+1=（1+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$）a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$≤（1+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$）a_n（n≥1），
两边取对数并利用已知不等式得lna_n+1≤ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$）+lna_n≤lna_n+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
故lna_n+1-lna_n≤$\frac{1}{n（n+1）}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$（n≥1）．
上式从1到n-1求和可得lna_n-lna₁≤$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{n}$+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜2，
即lna_n＜2，故a_n＜e²（n≥1）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和最值，同时考查函数和方程的转化思想和分类讨论的思想方法，以及不等式的证明，注意运用不等式的性质和裂项相消求和，考查运算能力，属于难题．