Question

11．如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成，现欲在隧道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置，若位置C对隧道底AB的张角θ最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置C到AB的距离是（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$m
• B． 2$\sqrt{3}$m
• C． 4m
• D． 6m

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，设C（x，y）（y＞-6），由A（-3，-6），B（3，-6），可得k_CA=$\frac{y+6}{x+4}$，k_CB=$\frac{y+6}{x-4}$，求出tan∠BCA，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x²=-2py（p＞0），
将点（4，-4）代入，可得p=2，
所以抛物线方程为x²=-4y，
设C（x，y）（y＞-6），则
由A（-4，-6），B（4，-6），可得k_CA=$\frac{y+6}{x+4}$，k_CB=$\frac{y+6}{x-4}$，
∴tan∠BCA=$\frac{\frac{y+6}{x+4}-\frac{y+6}{x-4}}{1+\frac{y+6}{x+4}•\frac{y+6}{x-4}}$=$\frac{-8（y+6）}{{y}^{2}+8y+20}$，
令t=y+6（t＞0），则tan∠BCA=$\frac{-8t}{{t}^{2}-4t+8}$=$\frac{-8}{t+\frac{8}{t}-4}$≤$\frac{-8}{4\sqrt{2}-4}$
∴t=2$\sqrt{2}$时，位置C对隧道底AB的张角最大，
故选：A．

点评 本题考查抛物线的方程与应用，考查基本不等式，确定抛物线的方程及tan∠BCA，正确运用基本不等式是关键．