Question

16．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{sinA-sinC}{b-c}$=$\frac{sinB}{a+c}$，则函数f（x）=cos²（$\frac{x}{2}$+A）-sin²（$\frac{x}{2}$-A）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3}{2}$π]上的单调递增区间是[0，π]．

Answer 1

分析 由已知等式利用正弦定理把角的正弦转化为边，整理，利用余弦定理可求得cosA的值，进而求得A．代入函数解析式利用二倍角公式整理，利用余弦函数的性质求得函数的单调增区间，与已知区间求交集即可．

解答 解：由$\frac{sinA-sinC}{b-c}$=$\frac{sinB}{a+c}$，
利用正弦定理可得$\frac{a-c}{b-c}$=$\frac{b}{a+C}$，
所以a²=b²+c²-bc，
由余弦定理得cosA=$\frac{1}{2}$，又A为△ABC的内角，
所以A=$\frac{π}{3}$，
所以f（x）=cos²（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）-sin²（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1+cos（x+\frac{2π}{3}）}{2}$-$\frac{1-cos（x-\frac{2π}{3}）}{2}$=-$\frac{1}{2}$cosx，
令2kπ≤x≤2kπ+π（k∈Z），与[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]取交集得所求递增区间是[0，π]．
故答案为：[0，π]．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理，即三角函数恒等变换的应用．综合考查了学生推理和运算的能力．