Question

5．已知函数f（x）=a（x-1）-2lnx（a≥0）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，求实数a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）分类讨论，确定函数的单调区间，根据函数f（x）在区间（0，1）上无零点，即可求实数a的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x-1-2lnx，定义域（0，+∞）…（1分）
${f^'}（x）=1-\frac{2}{x}$，..…（2分）
令f'（x）＞0得x＞2，..…（3分）
令f'（x）＜0得0＜x＜2..…（4分）
因此，函数f （x）的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；…（5分）
（Ⅱ）①当a=0时，f（x）=-2lnx，函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，且f（x）＞f（1）=0，
所以a=0时，函数f（x）在区间（0，1）上无零点；…（7分）
②当a＞0时，令f'（x）=0得$x=\frac{2}{a}$，
令f'（x）＞0得$x＞\frac{2}{a}$，令f'（x）＜0得$0＜x＜\frac{2}{a}$，
因此，函数f （x）的单调递增区间是$（\frac{2}{a}，+∞）$，单调递减区间是$（0，\frac{2}{a}）$…（9分）
（ⅰ）当$\frac{2}{a}≥1$即0＜a≤2时，
函数f （x）的单调递减区间是（0，1），所以f（x）＞f（1）=0，
所以0＜a≤2时，函数f（x）在区间（0，1）上无零点；…（11分）
（ii）当$\frac{2}{a}＜1$即a＞2时，
函数f （x）的单调递减区间是$（0，\frac{2}{a}）$，单调递增区间是$（\frac{2}{a}，1）$．
所以$f{（x）_{min}}=f（\frac{2}{a}）＜f（1）=0$且$f（\frac{1}{e^a}）=a+\frac{a}{e^a}＞0$，
所以a＞2时，函数f（x）在区间（0，1）上有零点，不成立，…（12分）
所以0≤a≤2，
综上实数a的最大值是2．…（13分）

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，正确求导是关键．