Question

10．已知函数f（x）=ln（2ax+1）+$\frac{{x}^{3}}{3}$-x²-2ax（a∈R）．
（1）若a=0，判断f（x）的单调性．
（2）若y=f（x）在[4，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）当a=-$\frac{1}{2}$时，方程f（1-x）=$\frac{（1-x）^{3}}{3}$+$\frac{b}{x}$有实根，求实数b的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出a=0的f（x）解析式，求得导数，令导数大于0，的增区间，令导数小于0，的减区间；
（2）f（x）在区间为[4，+∞）上增函数，所以f′（x）=$\frac{x[2a{x}^{2}+（1-4a）x-（4{a}^{2}+2）]}{2ax+1}$≥0在[4，+∞）上恒成立，对a讨论，a=0和a＞0，令g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2），结合二次函数的对称轴和区间的关系，只要g（4）≥0即可，
求出并集即可；
（3）若a=-$\frac{1}{2}$时，f（1-x）=$\frac{（1-x）^{3}}{3}$+$\frac{b}{x}$可化为lnx-（1-x）²+（1-x）=$\frac{b}{x}$，问题转化为b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x²-x³的值域．运用导数求得单调区间，求得最值，即可得到b的最大值．

解答 解：（1）若a=0，则f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²，
所以当a=0时，f′（x）=x（x-2），当f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，
当f′（x）＜0时，得0＜x＜2；
所以f（x）的单调增区间为（-∞，0），（2，+∞），减区间为（0，2）．
（2）因为f（x）在区间为[4，+∞）上增函数，
所以f′（x）=$\frac{x[2a{x}^{2}+（1-4a）x-（4{a}^{2}+2）]}{2ax+1}$≥0在[4，+∞）上恒成立，
当a=0时，f′（x）=x（x-2）＞0在[4，+∞）上恒成立，所以f（x）在[4，+∞）上为增函数，
故a=0符合题意．
当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥4恒成立，故只能a＞0，
所以2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）≥0在[4，+∞）恒成立．
令g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2），其对称轴为x=1-$\frac{1}{4a}$，
因为a＞0所以1-$\frac{1}{4a}$＜1，从而g（x）≥0在[4，+∞）上恒成立，只要g（4）≥0即可，
因为g（4）=-4a²+16a+2≥0，解得$\frac{4-3\sqrt{2}}{2}$≤a≤$\frac{4+3\sqrt{2}}{2}$，
因为a＞0，所以．0＜a≤$\frac{4+3\sqrt{2}}{2}$，
综上所述，a的取值范围为[0，$\frac{4+3\sqrt{2}}{2}$]；
（3）若a=-$\frac{1}{2}$时，f（1-x）=$\frac{（1-x）^{3}}{3}$+$\frac{b}{x}$可化为lnx-（1-x）²+（1-x）=$\frac{b}{x}$，
问题转化为b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，
即求函数g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
因为g（x）=x（lnx+x-x²），令h（x）=lnx+x-x²，
则h′（x）=$\frac{1}{x}$+1-2x=$\frac{（2x+1）（1-x）}{x}$，
所以当0＜x＜1时，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，
当x＞1时，h′（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数，
因此h（x）≤h（1）=0．而x＞0，故b=xh（x）≤0，
因此当x=1时，b取得最大值0．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，主要考查函数的单调性的运用，同时考查不等式恒成立思想的运用，运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想是解题的关键．