Question

19．如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，点E，F分别是B₁C₁，A₁B₁的中点，AA₁=AB=BE=1，∠A₁AB=60°．
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面A₁BE；
（Ⅱ）求证：BF⊥平面A₁B₁C₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AB₁，交A₁B于G，连结EG，先证明出GE∥AC₁，进而利用线面平行的判定定理证明出AC₁∥平面A₁BE．
（Ⅱ）连结EF．判断出△ABA₁为等边三角形，求得BA₁=1，判断出F是A₁B₁的中点，求得EF，然后利用勾股定理判断出△BEF为直角三角形，推断出BF⊥EF．最后利用线面垂直的判定定理证明出BF⊥EF．

解答
证明：（Ⅰ）连结AB₁，交A₁B于G，连结EG，
∵△B₁AC₁中，B₁G=GA，B₁E=EC₁，
∴GE∥AC₁，
∵GE?面A₁BE，AC1?面A₁BE，
∴AC₁∥平面A₁BE．
（Ⅱ）连结EF．
∵AA₁=AB=1，∠A₁AB=60°，
∴△ABA₁为等边三角形，
∴BA₁=1，又BB₁=AA₁=1，
∴F是A₁B₁的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$A₁C₁=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
又知△A₁BB₁中，BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴在△BEF中，EF²+BF²=BE²=1．
∴△BEF为直角三角形，且∠BEF=90°，
∴BF⊥EF．
∵EF?面A₁B₁C₁，A₁B₁?面A₁B₁C₁，EF∩A₁B₁=F，
∴BF⊥面A₁B₁C₁．

点评 本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生对基础定理和公式的熟练运用程度，和一定的空间的观察能力．