Question

11．求（1+x）²ⁿ+x（1+x）^2n-1+x²（1+x）^2n-2+…+xⁿ（1+x）ⁿ的展开式中含有xⁿ项的系数．

Answer 1

分析 利用展开式，可得xⁿ项的系数为C_2nⁿ+C_2n-1^n-1+C_2n-2n^n-2+…+C_n+1¹+C_n⁰，

解答 解：（1+x）²ⁿ中xⁿ的系数为C_2nⁿ，x（1+x）^2n-1中xⁿ的系数为C_2n-1^n-1，x²（1+x）^2n-2中xⁿ的系数为C_2n-2^n-2，
…，xⁿ（1+x）ⁿ中xⁿ的系数为C_n⁰
xⁿ项的系数为C_2nⁿ+C_2n-1^n-1+C_2n-2n^n-2+…+C_n+1¹+C_n⁰=C_2nⁿ+C_2n-1ⁿ+C_2n-2ⁿ+…+C_n+1ⁿ+C_nⁿ
=C_2nⁿ+C_2n-1ⁿ+C_2n-2ⁿ+…+C_n+1ⁿ+C_nⁿ=C_2nⁿ+C_2n-1ⁿ+C_2n-2ⁿ+…+C_n+1ⁿ+C_n+1ⁿ⁺¹=C_2n+1ⁿ⁺¹，
故答案为：C_2n+1ⁿ⁺¹．

点评 本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用二项式定理是关键．