Question

1．已知命题：
①设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥2）=P（-2＜ξ＜0）=$\frac{1}{2}$-p；
②命题“?x∈R，x²+x+1＜0”的否定是“?x∈R，x²+x+1＜0”；
③在△ABC中，A＞B的充要条件是sinA＜sinB；
④若不等式|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立，则m的取值范围是（-∞，2）；
⑤若对于任意的n∈N^*，n²+（a-4）n+3+a≥0恒成立，则实数a的取值范围是[${\frac{1}{3}$，+∞）．
以上命题中正确的是①⑤（填写所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 ①利用概率密度曲线图可判断真假；②存在性命题的否定是结论要否；③在三角形中充分考虑角度的正弦变化情况；④含绝对值不等式恒成立问题的转化；⑤构造新函数利用单调性求解．

解答 解：①由密度曲线可知，P（ξ≥2）+P（0≤ξ≤2）=$\frac{1}{2}$，所以P（0≤ξ≤2）=$\frac{1}{2}$-p，而P（-2＜ξ＜0）=P（0≤ξ≤2）=$\frac{1}{2}$-p；故①对；
②命题“?x∈R，x²+x+1＜0”的否定是“?x∈R，x²+x+1≥0”故②错；
③在△ABC中，A＞B，例如A=120°，B=60°，但是sinA=sinB．故③错；
④不等式|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立，则2m+1≤（|x+3|+|x-2|）_min=|x+3-x+2|=5，所以2m+1≤5，解得m≤2．故④错；
⑤n²+（a-4）n+3+a≥0恒成立?（n+1）a≥-n²+4n-3=-（n+1）²+6（n+1）-8恒成立，
∵n∈N^*，
∴a≥-（n+1）-$\frac{8}{n+1}$+6恒成立，
∴a≥[-（n+1）-$\frac{8}{n+1}$]_max+6恒成立；
∵双钩函数g（n）=（n+1）+$\frac{8}{n+1}$在[1，2$\sqrt{2}$-1]上单调递减，在[2$\sqrt{2}$-1，+∞）上单调递增，又n∈N^*，
g（1）=2+4=6，g（2）=3+$\frac{8}{3}$＜g（3）=6，
∴g（n）_min=g（2）=$\frac{17}{3}$，[-（n+1）-$\frac{8}{n+1}$]_max=-g（n）_min=-$\frac{17}{3}$，
∴m＞-$\frac{17}{3}$+6=$\frac{1}{3}$，
∴实数a的取值范围是[$\frac{1}{3}$，+∞），故⑤对．
故答案为：①⑤

点评 本题主要考查简易逻辑，考查的知识点多种需要较好的基础功底，常考题型．