Question

1．已知函数f（x）=ax³+x²f′（1）+1，且f′（-1）=9．
（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若存在x∈（1，+∞）使得函数f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，令x=1，x=-1，得到方程，解得a=1，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；
（2）存在x∈（1，+∞）使得函数f（x）＜m成立，即有m＞f（x）_min，求出函数f（x）在（1，+∞）的单调区间，求得最小值即可．

解答 解：（1）函数f（x）=ax³+x²f′（1）+1的导数
f′（x）=3ax²+2xf′（1），
令x=1，则f′（1）=3a+2f′（1），即为f′（1）=-3a，
由f′（-1）=9，可得3a-2•（-3a）=9，
解得a=1，即有f′（1）=-3，
则f（x）=x³-3x²+1，
即有f（1）=1-3+1=-1，
则f（x）在x=1处的切线方程为y+1=-3（x-1），
即有3x+y-2=0；
（2）f（x）=x³-3x²+1的导数f′（x）=3x²-6x，
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）递增．
即有x=2处，f（x）取得极小值，且为最小值，且f（2）=-3，
存在x∈（1，+∞）使得函数f（x）＜m成立，
即有m＞f（x）_min=-3，
故m的取值范围为（-3，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式存在性问题，注意转化为求函数的最值问题，属于中档题．