Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC，D在线段AC上，且AC=$\sqrt{2}$AD，BD=1．
（Ⅰ）若A=$\frac{π}{2}$，求sin∠DBC的值；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出AD，利用勾股定理求得AD，进而求得sin∠ABD和cos∠ABD，利用sin∠DBC=sin（$\frac{π}{4}$-∠ABD）求得sin∠DBC的值．
（Ⅱ）设出AD，利用余弦定理表示出cos∠BAD，进而表示出sin∠BAC，最后利用三角形面积公式表示出三角形的面积，利用二次函数的性质求得面积最大值．

解答 解：（Ⅰ）设AD=x，AB=$\sqrt{2}$x，
∵x²+2x²=1，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
sin∠ABD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cos∠ABD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
sin∠DBC=sin（$\frac{π}{4}$-∠ABD）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6}$．
（Ⅱ）设AD=x，AB=$\sqrt{2}$x，
在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAD=$\frac{{x}^{2}+2{x}^{2}-1}{2\sqrt{2}{x}^{2}}$=$\frac{3{x}^{2}-1}{2\sqrt{2}{x}^{2}}$，
sin∠BAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAD}$=$\frac{\sqrt{-（{x}^{2}-3）^{2}+8}}{2\sqrt{2}{x}^{2}}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$•2x²•$\frac{\sqrt{-（{x}^{2}-3）^{2}+8}}{2\sqrt{2}{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{-（{x}^{2}-3）^{2}+8}}{2\sqrt{2}}$，
当x=$\sqrt{3}$时，三角形面积有最大值1．

点评 本题主要考查了两角和公式的运用，余弦定理的运用．考查了学生的转化与化归的思想．