Question

19．已知平面向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$满足$\overrightarrow a}$⊥$\overrightarrow b}$，且{|$\overrightarrow a$|，|$\overrightarrow b$|，|$\overrightarrow c$|}={1，2，3}，则|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$|的最大值是3+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分别以$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{|$\overrightarrow a$|，|$\overrightarrow b$|}={1，2}，|$\overrightarrow{c}$|=3，设$\overrightarrow{c}=（x，y）$，则x²+y²=9，则$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$=（1+x，2+y），有|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+2）^{2}}$的最大值，其几何意义是圆x²+y²=9上点（x，y）与定点（-1，-2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可．

解答 解：分别以$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，
①当{|$\overrightarrow a$|，|$\overrightarrow b$|}={1，2}，|$\overrightarrow{c}$|=3，则$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（1，2）$，
设$\overrightarrow{c}=（x，y）$，则x²+y²=9，
∴$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$=（1+x，2+y），
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+2）^{2}}$的最大值，其几何意义是圆x²+y²=9上点（x，y）与定点（-1，-2）的距离的最大值为$3+\sqrt{（0+2）^{2}+（0+1）^{2}}$=3+$\sqrt{5}$；
②且{|$\overrightarrow a$|，|$\overrightarrow b$|}={1，3}，|$\overrightarrow{c}$|=2，则$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（1，3）$，x²+y²=4，
∴$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$=（1+x，3+y）
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+3）^{2}}$的最大值，其几何意义是圆x²+y²=4上点（x，y）与定点（-1，-3）的距离的最大值为2+$\sqrt{（0+1）^{2}+（0+3）^{2}}$=2+$\sqrt{10}$，
③{|$\overrightarrow a$|，|$\overrightarrow b$|}={2，3}，|$\overrightarrow{c}$|=1，则$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（2，3）$，
设$\overrightarrow{c}=（x，y）$，则x²+y²=1
∴$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$=（2+x，3+y）
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（x+2）^{2}+（y+3）^{2}}$的最大值，其几何意义是在圆x²+y²=1
上取点（x，y）与定点（-2，-3）的距离的最大值为1+$\sqrt{（0+2）^{2}+（0+3）^{2}}$=1+$\sqrt{13}$
∵$1+\sqrt{13}＜3+\sqrt{5}，2+\sqrt{10}＜3+\sqrt{5}$，
故|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$|的最大值为3+$\sqrt{5}$．
故答案为：3+$\sqrt{5}$

点评 本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r+d（r为该圆的半径，d为该点与圆心的距离）．