Question

9．已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）≥2．若存在整数m，使得f（-2）-m²-m+4=0，则m取值的集合为{-1，0}．

Answer 1

分析 根据抽象函数，判断函数的奇偶性，结合一元二次不等式的性质进行求解即可．

解答 解：令x=y=0得f（0）=f（0）+f（0），
解得f（0）=0，
令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数，
若存在整数m，使得f（-2）-m²-m+4=0，
则-f（2）-m²-m+4=0，
即f（2）=-m²-m+4=-（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
令x=y=1，则f（1+1）=f（1）+f（1），
即f（2）=2f（1）≥4，
即-m²-m+4≥4，
即-m²-m≥0．
则m²+m≤0，
解得-1≤m≤0，
∵m是整数，∴m=-1或0，
故m取值的集合为{-1，0}，
故答案为：{-1，0}．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．综合考查函数的性质．