Question

8．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，右焦点到右顶点的距离为1
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M、N是直线l上的两点F₁、F₂是椭圆的左右焦点，且F₁M⊥l，F₂N⊥l，求四边形F₁MNF₂面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），半焦距为c．依题意$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，由右焦点到右顶点的距离为1，得a-c=1．可求得椭圆方程
（2）（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆y的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．利用四边形面积可得结论

解答 解：（1）设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），半焦距为c．
依题意$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，由右焦点到右顶点的距离为1，得a-c=1．
解得c=1，a=2．
所以b²=a²-c²=3．
所以椭圆C的标准方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆y的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中，
得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
由直线与椭圆仅有一个公共点知△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，
化简得：m²=4k²+3．
设${d_1}=|{{F_1}M}|=\frac{{|{-k+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，${d_2}=|{{F_2}M}|=\frac{{|{k+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
∵${d_1}^2+{d_2}^2={（\frac{{|{-k+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}）^2}+{（\frac{{|{k+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}）^2}=\frac{{2（{m^2}+{k^2}）}}{{{k^2}+1}}=\frac{{2（5{k^2}+3）}}{{{k^2}+1}}$，${d_1}{d_2}=\frac{{|{-k+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}•\frac{{|{k+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{|{{m^2}-{k^2}}|}}{{{k^2}+1}}=\frac{{3{k^2}+3}}{{{k^2}+1}}=3$．
∴$|{MN}|=\sqrt{{{|{{F_1}{F_2}}|}^2}-{{（{d_1}-{d_2}）}^2}}$=$\sqrt{4-（{d_1}^2+{d_2}^2-2{d_1}{d_2}）}=\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$．…（8分）
四边形F₁MNF₂的面积$S=\frac{1}{2}|{MN}|（{d_1}+{d_2}）$=$\frac{1}{{\sqrt{{k^2}+1}}}（{d_1}+{d_2}）$，${S^2}=\frac{1}{{{k^2}+1}}（{d_1}^2+{d_2}^2+2{d_1}{d_2}）=\frac{{16{k^2}+12}}{{{{（{k^2}+1）}^2}}}$=$16-4{（\frac{1}{{{k^2}+1}}-2）^2}≤12$．
当且仅当k=0时，${S^2}=12，S=2\sqrt{3}$，故${S_{max}}=2\sqrt{3}$．
所以四边形F₁MNF₂的面积S的最大值为$2\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查直线与椭圆得综合问题，属难题，高考题常作为压轴题出现．