Question

5．如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD=$\sqrt{2}$，∠ABD=90°，将△ABD沿对角线BD折起，折后的点A变为A₁，且A₁C=2．
（1）求证：平面A₁BD⊥平面BCD；
（2）求异面直线BC与A₁D所成角的余弦值；
（3）E为线段A₁C上的一个动点，当线段EC的长为多少时，DE与平面BCD所成的角正弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$？

Answer 1

分析 （1）对比折叠前后即可得到${A}_{1}B=1，BC=\sqrt{3}$，并且A₁C=2，从而得到A₁B⊥BC，并且A₁B⊥BD，从而得到A₁B⊥平面BCD，根据面面垂直的判定定理即可得出平面A₁BD⊥平面BCD；
（2）在平面BCD内，过B作BD的垂线，从而可以BD的垂线，BD，BA₁三直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出图形上各点的坐标，从而求出向量$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{{A}_{1}D}$的坐标，从而求出cos$＜\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{{A}_{1}D}＞$，从而得出异面直线BC与A₁D所成角的余弦值；
（3）根据折叠后图形各边的长度设E（x，$\sqrt{2}x，1-x$），从而写出$\overrightarrow{DE}$的坐标，$\overrightarrow{B{A}_{1}}$为平面BCD的一条法向量，并且DE与平面BCD所成的角正弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$，从而根据$|cos＜\overrightarrow{B{A}_{1}}，\overrightarrow{DE}＞|=\frac{\sqrt{7}}{7}$即可求出x，从而求出EC的长．

解答 解：（1）根据已知条件，在△A₁BC中，BC=$\sqrt{3}$，A₁B=1，A₁C=2；
∴${A}_{1}{B}^{2}+B{C}^{2}={A}_{1}{C}^{2}$；
∴A₁B⊥BC；
又A₁B⊥BD，BD∩BC=B；
∴A₁B⊥平面BCD，A₁B?平面A₁BD；
∴平面A₁BD⊥平面BCD；
（2）以BD的垂线，BD，BA₁三直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
B（0，0，0），C（1，$\sqrt{2}$，0），D（0，$\sqrt{2}$，0），A₁（0，0，1）；
∴$\overrightarrow{BC}=（1，\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{{A}_{1}D}=（0，\sqrt{2}，-1）$；
∴$cos＜\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{{A}_{1}D}＞=\frac{2}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{2}{3}$；
∴异面直线BC与A₁D所成角的余弦值为$\frac{2}{3}$；
（3）$\overrightarrow{B{A}_{1}}=（0，0，1）$为平面BCD的一条法向量，E在线段A₁C上；
∴设E（x，$\sqrt{2}$x，1-x），x∈[0，1]；
∴$\overrightarrow{DE}=（x，\sqrt{2}（x-1），1-x）$；
∵DE与平面BCD所成的角正弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$；
∴$|cos＜\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{B{A}_{1}}＞|=\frac{1-x}{\sqrt{{x}^{2}+3（x-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$；
解得x=$\frac{2}{3}$，或2（舍去）；
∴$EC=\frac{\sqrt{7}}{3}$；
即当线段EC=$\frac{\sqrt{7}}{3}$时，DE与平面BCD所成的角正弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 考查直角三角形边的关系，弄清折叠前后图形的对应关系，线面垂直、面面垂直的判定定理，建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角，以及解决线面角问题的方法，能求空间点的坐标，线面角和平面法向量和直线方向向量夹角的关系，向量夹角余弦的坐标公式．