Question

9．设x∈R，对于使f（x）≤M恒成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界．例如f（x）=-x²+2x，x∈R的上确界是1．若a，b∈R⁺，且a+b=1，则-$\frac{1}{2a}-\frac{2}{b}$的上确界为$-\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 通过基本不等式可得$\frac{1}{2a}$+$\frac{2}{b}$≥$\frac{9}{2}$，进而可得结论．

解答 解：∵$\frac{1}{2a}$+$\frac{2}{b}$=$\frac{a+b}{2a}$+$\frac{2a+2b}{b}$=$\frac{5}{2}$+$\frac{b}{2a}$+$\frac{2a}{b}$≥$\frac{5}{2}$+2$\sqrt{\frac{2a}{b}•\frac{b}{2a}}$=$\frac{9}{2}$，
当且仅当$\frac{b}{2a}$=$\frac{2a}{b}$即a=b=$\frac{1}{2}$时等号成立，
∴-$\frac{1}{2a}-\frac{2}{b}$≤-$\frac{9}{2}$，
故答案为：-$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查求最大值，利用基本不等式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．