Question

10．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{2x-y≥0}\\{x-2≤0}\end{array}\right.$，表示的平面区域为D，若直线mx+y+m=0上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是$-\frac{4}{3}≤m≤-\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率，求得满足直线mx+y+m=0上存在区域D上的点时的m的范围．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{2x-y≥0}\\{x-2≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

∵直线mx+y+m=0过定点P（-1，0），要使直线mx+y+m=0上存在区域D上的点，
则直线mx+y+m=0的斜率-m∈[k_PA，k_PB]，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，得A（2，1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{2x-y=0}\end{array}\right.$，得B（2，4），
∴${k}_{PA}=\frac{1-0}{2-（-1）}=\frac{1}{3}$，${k}_{PB}=\frac{4-0}{2-（-1）}=\frac{4}{3}$．
∴$\frac{1}{3}≤-m≤\frac{4}{3}$，即$-\frac{4}{3}≤m≤-\frac{1}{3}$．
故答案为$-\frac{4}{3}≤m≤-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，是中档题．