Question

15．一个盒子里装有编号为1，2，3，4，5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号．
（1）求第一次或第二次取到3号球的概率；
（2）设ξ为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）运用排列组合知识求解得出；第一次从盒子里随机抽取2个小球，共有${C}_{5}^{2}$结果，第二次从盒子里随机抽取2个小球，共有共有${C}_{5}^{2}$结果，
运用对立事件的概率求解得出P（A）=1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{10}$×$\frac{{C}_{4}^{2}}{10}$
（2）确定ξ=0，1，2，
利用概率知识求解得出P（ξ=0）=$\frac{3}{10}$，P（ξ=1）=$\frac{60}{100}$=$\frac{3}{5}$，P（ξ=2）=$\frac{1}{10}$
列出分布列即可，求解数学期望．

解答 解：根据题意得出：
第一次从盒子里随机抽取2个小球，共有${C}_{5}^{2}$结果，即（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）
（2，3）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5）10种结果，
第二次从盒子里随机抽取2个小球，共有共有${C}_{5}^{2}$结果，即（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）
（2，3）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5）10种结果，
（1）因为第一次和第二次取球是相互独立的
设“第一次或第二次取到3号球的事件”为A；设“第一次和第二次都没有取到3号球的事件”为B；
P（A）=1-P（B）=1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{10}$×$\frac{{C}_{4}^{2}}{10}$=1-$\frac{6}{10}$×$\frac{6}{10}$=$\frac{16}{25}$
故第一次或第二次取到3号球的概率为$\frac{16}{25}$．
（2）设ξ为两次取球时取到相同编号的小球的个数，
则ξ=0，1，2
两次取球的结果为100种，
ξ=0时，${C}_{5}^{2}$${×C}_{3}^{2}$=30种结果．
P（ξ=0）=$\frac{3}{10}$，
ξ=1时，${C}_{5}^{1}$${×C}_{4}^{1}$${×C}_{3}^{1}$=60种结果．
P（ξ=1）=$\frac{60}{100}$=$\frac{3}{5}$，
ξ=2时，${C}_{5}^{2}$=10种结果．
P（ξ=2）=$\frac{1}{10}$

ξ	0	1	2
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

数学期望E（ξ）=0×$\frac{3}{10}$$+1×\frac{3}{5}$$+2×\frac{1}{10}$=$\frac{4}{5}$=0.8

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用本题属于中档题