Question

3．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，f（x）=x²+2x．
（1）若函数h（x）=$\frac{1}{2}$f（x）-x-|2x-a|有四个不同零点，求实数a的取值范围
（2）如果对于任意x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得函数h（x）=$\frac{1}{2}$f（x）-x-|2x-a|有四个不同零点，即有y=$\frac{1}{2}$x²与y=|2x-a|有四个不同的交点，分别作出它们的图象，求得它们有三个交点的情况，再由图象平移即可得到a的范围；
（2）不等式可化为c≤2x²-|x-1|，运用二次函数的最值方法，求出右边函数的最小值，即可得到c的范围．

解答 解：（1）h（x）=$\frac{1}{2}$f（x）-x-|2x-a|
=$\frac{1}{2}$（x²+2x）-x-|2x-a|=$\frac{1}{2}$x²-|2x-a|，
函数h（x）=$\frac{1}{2}$f（x）-x-|2x-a|有四个不同零点，
即有y=$\frac{1}{2}$x²与y=|2x-a|有四个不同的交点，
由y=$\frac{1}{2}$x²与y=2x-a可得$\frac{1}{2}$x²-2x+a=0，
令判别式△=4-2a=0，解得a=2，此时有三个交点．
由y=$\frac{1}{2}$x²与y=a-2x可得$\frac{1}{2}$x²+2x-a=0，
令判别式△=4+2a=0，解得a=-2，此时有三个交点．
当a=0时，由y=$\frac{1}{2}$x²与y=|2x|，此时有三个交点．
由图象平移观察可得所求a的范围是：（-2，0）∪（0，2）；
（2）由函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，
g（x）=-f（-x）=-（x²-2x）=2x-x²，
原不等式可化为c≤2x²-|x-1|，
令F（x）=2x²-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-x+1，x≥1}\\{2{x}^{2}+x-1，x＜1}\end{array}\right.$，
当x≥1时，F（x）=2（x-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{8}$递增，最小值为f（1）=2；
当x＜1时，F（x）=2（x+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$，最小值为F（-$\frac{1}{4}$）=-$\frac{9}{8}$．
即有F（x）_min=F（-$\frac{1}{4}$）=-$\frac{9}{8}$，即为c≤-$\frac{9}{8}$．
则c的取值范围是（-∞，-$\frac{9}{8}$]．

点评 本题主要考查绝对值函数的图象和性质，注意化为分段函数，同时考查图象平移和不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．