Question

6．已知点A（-1，0），B（0，1），点P是圆（x-a）²+y²=1上的动点，当数量积$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$取得最小值2时，点P的坐标为（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 设点P（a+cosθ，sinθ），求得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$=a+cosθ+1+sinθ=a+1+$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），再利用余弦函数的值域、$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$的最小值为2，求得a的值

解答 解：设点P（a+cosθ，sinθ），则由点A（-1，0），B（0，1），
可得$\overrightarrow{AB}$=（1，1），$\overrightarrow{AP}$=（a+cosθ+1，sinθ），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$=a+cosθ+1+sinθ=a+1+$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），
故当cos（θ+$\frac{π}{4}$）=-1时，故数量积$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$的最小值为a+1-$\sqrt{2}$=2，∴a=1+$\sqrt{2}$，此时θ=$\frac{3π}{4}$；
故答案为：（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，余弦函数的值域，属于基础题