Question

15．如图所示，射线OA与单位圆交于A，与圆x²+y²=4交于点B，过A平行于x轴的直线与过B与x轴垂直的直线交于P点，OA与x轴的夹角为x，若f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$+cosx（cosx+2$\sqrt{3}$sinx）
（Ⅰ）求f（x）的最值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间和图象的对称中心．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由A（cosx，sinx），P（2cosx，sinx），根据三角函数中的恒等变换应用可得，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，即可得解f（x）的最值；
（Ⅱ）由-$\frac{π}{2}$+2k$π≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）得f（x）的单调增区间．同理可得f（x）的单调减区间，对称中心．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ） 依题意，A（cosx，sinx），P（2cosx，sinx），
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=2cos²x+sin²x=1+cos²x，
因此，f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$+cosx（cosx+2$\sqrt{3}$sinx）
=1+cos²x+cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=1+2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2
所以，f（x）的最大值为4，最小值为0；                       …（6分）
（Ⅱ）由-$\frac{π}{2}$+2k$π≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）得：-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$（k∈Z），
因此，f（x）的单调增区间为：[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}+kπ$]（k∈Z），
同理可得：f（x）的单调减区间为[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}+kπ$]（k∈Z），
其图象的对称中心为（-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，2）（k∈Z） …（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．