Question

3．已知函数f（x）=e^x+sinx-ax
（Ⅰ）求使得x=0成为f（x）极值点的a的值；
（Ⅱ）当a∈（0，2]，x∈[0，+∞）时，求f（x）最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用导数公式和导数四则运算计算函数f（x）的导函数f′（x），再利用函数极值的意义，令f′（0）=0即可解得a的值；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，令h（x）=f′（x），求得h（x）的导数，由x的范围，判断h（x）的单调性，进而得到h（x）的最小值，由条件可得最小值大于0，进而得到f（x）递增，可得f（x）的最小值为f（0）．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=e^x+sinx-ax的导函数f′（x）=e^x+cosx-a，
∵x=0是f（x）的极值点，∴f′（0）=1+1-a=0，
解得a=2．
又当a=2时，x＜0时，f′（x）=e^x+cosx-2＜0，
x＞0时f′（x）=e^x+cosx-2＞0，
∴x=0是f（x）的极小值点
∴a=2成立；
（Ⅱ）f（x）的导数f′（x）=e^x+cosx-a，令h（x）=e^x+cosx-a，
h′（x）=e^x-sinx，由于x∈[0，+∞），ex≥1，sinx∈[-1，1]，
即有h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）递增，即有h（x）≥h（0）=2-a，
又a∈（0，2），则2-a＞0，即有h（x）＞0，
则f′（x）＞0，即有f（x）在[0，+∞）递增，
故f（x）_min=f（0）=e⁰+0-0=1．

点评 本题综合考查了导数运算，导数与函数极值间的关系，利用导数研究函数的单调性进而求得最值，属于中档题．