Question

8．若以A、B为焦点的双曲线经过点C，且|AB|=|AC|，cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． 3
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 先确定C在双曲线的右支上，由双曲线定义知$|{BD}|=\frac{1}{2}|{BC}|=\frac{1}{2}（2c-2a）=c-a$，利用$cos∠ABD=\frac{1}{3}$，可得$\frac{c-a}{2c}=\frac{1}{3}$，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：不妨设A、B为左、右焦点，实半轴长为a，半焦距为c，若点C在双曲线的左支上，设BC中点为D，则
由定义知|BD|=$\frac{1}{2}$|BC|=$\frac{1}{2}$（2c+2a）=c+a，
在Rt△ABD中，由cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，故$\frac{c+a}{2c}=\frac{1}{3}，e=-3$，不可能．
故C在双曲线的右支上，
设BC中点为D，则由双曲线定义知$|{BD}|=\frac{1}{2}|{BC}|=\frac{1}{2}（2c-2a）=c-a$，
在Rt△ABD中，$cos∠ABD=\frac{1}{3}$，故$\frac{c-a}{2c}=\frac{1}{3}$，得$e=\frac{c}{a}=3$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查学生分析解决问题的能力，确定C在双曲线的右支上是关键．