Question

20．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$ （φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程式2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$ ）=3$\sqrt{3}$，射线OM：θ=$\frac{π}{3}$与圆心C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 （I）把cos²φ+sin²φ=1代入圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$ （φ为参数），消去参数化为普通方程，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得圆C的极坐标方程．
（II）设P（ρ₁，θ₁），联立$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₁，θ₁；设Q（ρ₂，θ₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{2ρ（sinθ+\sqrt{3}cosθ）=3\sqrt{3}}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₂，θ₂，可得|PQ|．

解答 解：（I）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$ （φ为参数），消去参数化为普通方程：（x-1）²+y²=1，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得圆C的极坐标方程：ρ=2cosθ．
（II）设P（ρ₁，θ₁），则$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₁=1，θ₁=$\frac{π}{3}$，
设Q（ρ₂，θ₂），则$\left\{\begin{array}{l}{2ρ（sinθ+\sqrt{3}cosθ）=3\sqrt{3}}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₂=3，θ₂=$\frac{π}{3}$，
∴|PQ|=2．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程、弦长问题，考查了计算能力，属于中档题．